Sini- ja kosinilause – kolmioiden ratkaiseminen
Sini- ja kosinilause täydentävät Pythagoraan lauseen silloin, kun kolmio ei ole suorakulmainen. Niiden avulla ratkaiset yo-tehtävissä sivut, kulmat ja pinta-alan, kun tunnet vain osan tiedoista.
Määritelmä
Sinilause yhdistää sivun ja vastakulman: . Kosinilause yleistää Pythagoraan lauseen: .Kaavat
Säännöt
Milloin käytetään sinilausetta
Tunnetaan kaksi sivua ja vastakkainen kulma (SSA) tai kaksi kulmaa ja yksi sivu (AAS/ASA).
Milloin käytetään kosinilausetta
Tunnetaan kolme sivua (SSS) tai kaksi sivua ja niiden välinen kulma (SAS).
Ambiguous case
Sinilauseen SSA-tilanteessa tarkista myös kulma .
Esimerkit
SSA ja kaksi ratkaisua
KeskitasoRatkaise kolmio, kun , , .
- Laske .
- Tarkista vaihtoehdot, .
- Laske molemmille tapauksille.
Kosinilause sivun laskemiseen
HelppoLaske sivu , kun , , .
- Sijoita kosinilauseeseen.
- Laske.
- Ota neliöjuuri.
Pinta-ala sinilauseen avulla
HelppoLaske kolmion pinta-ala, kun , , .
- Käytä kaavaa.
- Sijoita arvot.
- Yksinkertaista.
Sovellukset
- Yo-geometria: kolmioiden ratkeaminen ilman suorakulmaa.
- Kartoitus ja navigointi: etäisyys- ja kulmalaskut maastossa.
- Rakennustekniikka: vinon tukikolmion pituuden määrittäminen.
Yleisiä virheitä
Valitaan väärä lause
Sinilause ei toimi, jos tunnet vain sivut ilman kulmia.
Oikein: Käytä kosinilausetta SSS- ja SAS-tilanteissa.
Unohdetaan toinen sinilauseen ratkaisu
SSA-tilanteessa jätetään kulma tarkistamatta.
Oikein: Kirjoita molemmat vaihtoehdot ja tarkista, sopiiko kolmion kulmasumma.
Korkeuskaavan käyttäminen turhaan
Hyödytön trigonometria korvataan usein sinilauseella.
Oikein: Pinta-ala löytyy suoraan kaavalla .
Usein kysyttyä
- Mistä tiedän käytänkö sini- vai kosinilausetta?
- Jos kulma on kahden tunnetun sivun välissä, käytä kosinilausetta. Jos tunnet sivun ja vastakulman, kokeile sinilausetta.
- Miksi sinilause antaa joskus kaksi ratkaisua?
- Sini saa saman arvon kulmissa ja . Siksi SSA-tilanteessa on tarkistettava molemmat mahdollisuudet.
- Voinko yhdistää molemmat lauseet?
- Kyllä. Ratkaise ensin sivu kosinilauseella ja käytä sinilausetta lopullisten kulmien varmistamiseen.
- Miten lasken pinta-alan, kun tunnetaan kolme sivua?
- Laske kulma kosinilauseella ja käytä , tai vaihtoehtoisesti Heronin kaavaa.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA3 sini- ja kosinilause
LOPS21-kurssikuvaus kolmioiden trigonometrisesta ratkaisemisesta.
- Yo-tehtävät: lauseet käytännössä
YTL:n tehtäväpankki, jossa ratkotaan kolmioita sinin ja kosinin avulla.