Trigonometriset yhtälöt – ratkaisumenetelmät ja jaksollisuus
Trigonometriset yhtälöt ratkeavat tunnistamalla perusratkaisut ja lisäämällä jaksollisuuden tuottama termi. Tämä taito varmistaa yo-tehtävissä kaikki ratkaisut eikä vain perusarvoa.
Määritelmä
Yhtälö, jossa esiintyy trigonometrisia funktioita (esim. ), ratkaistaan etsimällä perusratkaisut yksikköympyrästä ja lisäämällä - ja -funktioille jakso , tangentille jakso .Kaavat
tai
auttaa yhtälön muuntamisessa
Säännöt
Perusratkaisun löytäminen
Selvitä yksi ratkaisu yksikköympyrästä ja päättele neljännes.
Lisää jakso
ja : . : .
Huomioi määrittelyjoukko
Sinin ja kosinin yhtälöissä . Tangentti sallii kaikki reaaliarvot.
Esimerkit
Sinin yhtälö välillä [0, 2π]
HelppoRatkaise välillä .
- Etsi perusarvotYksikköympyrästä ja .
- Rajaa väliinMolemmat ovat välillä .
- Kirjoita täydet ratkaisuttai .
Tangentin jaksollisuus
KeskitasoRatkaise .
- Tunnista peruskulmatai .
- Valitse väliValitse ratkaisu, joka sopii annettuun väliin.
- Lisää jaksoYleinen ratkaisu: .
Yhdistetty yhtälö
KeskitasoRatkaise välillä .
- Muuta kaavan avulla.
- Ratkaise tekijät. .
- Kokoa vastausVälillä ratkaisut: .
Sovellukset
- Yo-tehtävät, joissa trigonometriset funktiot esiintyvät yhtälössä ja ratkaisut pitää antaa jaksona.
- Fysiikan värähtelymallit: etsitään hetkiä, jolloin liike saavuttaa tietyn asennon.
- Sähkötekniikan signaalien nollakohtien ja vaihe-erojen laskeminen.
Yleisiä virheitä
Unohdetaan lisätä
Ratkaisu jää vajaaksi, kun ilmoitetaan vain perusarvo.
Oikein: Kirjoita aina jaksollinen termi ja erota tapaukset selkeästi.
Tangentin jakso sekoittuu
Lisätään vaikka tangentti toistuu jo :ssä.
Oikein: Muista: on jaksollinen jaksolla .
Ratkaisuja ilmoitetaan alueen ulkopuolelta
Kun väli on rajattu, listataan mukaan ratkaisuja sen ulkopuolelta.
Oikein: Tarkista lopuksi, että kaikki arvot kuuluvat määriteltyyn väliin.
Usein kysyttyä
- Kuinka valitsen oikean perusarvon?
- Piirrä yksikköympyrä ja paikanna kulma, joka tuottaa annetun sinin, kosinin tai tangentin arvon.
- Mitä jos yhtälössä ?
- Tällöin ratkaisuja ei ole, koska sinin ja kosinin arvot ovat välillä [-1, 1].
- Miksi tangentille lisätään ?
- Tangentti toistuu puolen kierroksen välein. Tämän vuoksi jaksollisuustermi on .
- Miten käsittelen yhtälön, jossa on sekä sini että kosini?
- Käytä identiteettejä kuten tai muunna yhtälö tangentiksi jakamalla kosinilla.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA7 trigonometriset yhtälöt
LOPS21-kurssikuvaus, jossa trigonometriset yhtälöt käsitellään systemaattisesti.
- Yo-tehtävät trigonometrisista yhtälöistä
YTL:n julkaisema tehtäväpankki ratkaisumalleineen.