Suoran vektorimuoto ja parametriyhtälö
Suora tasossa voidaan esittää vektorimuodossa: jokainen suoran piste saadaan alkupisteestä lisäämällä suuntavektorin skalaarimonikerta. Tämä muoto on selkeä MAA4-kurssilla ja yhdistää suorat vektorilaskentaan.
Määritelmä
Suora, joka kulkee pisteen kautta ja jonka suuntavektori on , koostuu pisteistä , joille on suuntavektorin monikerta. Vektorimuoto: , . Koordinaateittain: , .Kaavat
Suoran vektorimuoto
on suoran yksi paikkavektori (alkupiste), on suuntavektori. Parametri käy läpi kaikki reaaliluvut.
- Suoran pisteen paikkavektori
- Suuntavektori (ei nollavektori)
- Reaaliparametri
Parametriyhtälö
Sama suora koordinaateittain. Parametrin poistamalla saat suoran yhtälön muodossa tai .
- Suoran pisteen koordinaatit
- Suuntavektorin komponentit
piste on suoralla
Piste on suoralla löytyy :
Säännöt
Suuntavektori
(ei nollavektori)
Mikä tahansa suoran kahden eri pisteen välinen vektori kelpaa suuntavektoriksi.
Pisteen testaus
Piste on suoralla (kun )
Sama antaa sekä - että -koordinaatin.
Yhdensuuntaisuus
Kaksi suoraa yhdensuuntainen suuntavektorit yhdensuuntaiset:
Suuntavektorit ovat toistensa monikertoja (sama tai vastakkainen suunta).
Kohtisuoruus
Suorat kohtisuorassa
Suorat ovat kohtisuorassa, kun suuntavektorien pistetulo on nolla.
Esimerkit
Esimerkki 1: Suoran vektorimuodon muodostaminen
HelppoPisteet ja määrittävät suoran. Kirjoita suoran vektorimuoto ja parametriyhtälö.
- Suuntavektori.
- Vektorimuoto.
- Parametriyhtälö, , .
Esimerkki 2: Tarkista onko piste suoralla
HelppoOnko piste suoralla ?
- Ratkaise -koordinaatistaantaa .
- Tarkista -koordinaatti. Piste toteuttaa yhtälön, joten on suoralla.
Esimerkki 3: Suora kulmakerroin ja vektorimuoto
KeskitasoSuoran yhtälö on . Anna suoran suuntavektori ja yksi vektorimuoto.
- Suuntavektori kulmakertoimestaKulmakerroin , joten suunta (muutos : 1, : 2). Voidaan valita .
- Valitse piste suoraltaEsim. antaa , joten piste on suoralla.
- Vektorimuoto.
Esimerkki 4: Parametrista suoran yhtälöön
KeskitasoSuora on annettu parametrimuodossa , . Muunna muotoon .
- Ratkaise toisesta yhtälöstäantaa .
- Sijoita ensimmäiseen.
- Ratkaise , joten .
Esimerkki 5: Suorien kohtisuoruus (MAA4)
VaikeaSuora kulkee pisteiden ja kautta. Suora kulkee pisteen kautta ja on kohtisuorassa :tä vastaan. Anna :n suuntavektori ja vektorimuoto.
- :n suuntavektori.
- Kohtisuora suuntavektorikun . Valitaan (tai ).
- :n vektorimuoto.
Esimerkki
Muodosta suoran, joka kulkee pisteiden ja kautta, vektorimuoto ja parametriyhtälö. Tarkista, että piste on suoralla.
- Suuntavektori: .
- Vektorimuoto: .
- Parametriyhtälö: , .
- Piste : antaa ; . Piste on suoralla.
Sovellukset
- Liikefysiikka: suoraviivainen liike voidaan kuvata , missä on nopeusvektori.
- Geometria: suoran ja ympyrän leikkauspisteet ratkaistaan sijoittamalla parametriyhtälö ympyrän yhtälöön.
- Tietokonegrafiikka: säteet ja viivat esitetään parametrimuodossa.
Yleisiä virheitä
Suuntavektori väärinpäin
Suuntavektori antaa saman suoran kuin , mutta parametrisointi on eri. Molemmat kelpaavat.
Oikein: Voit valita joko tai . Vektorimuoto riippuu valitusta alkupisteestä.
Parametrin tulkinta
Sekoitetaan, että on aika tai pituus. Parametri on vain reaaliluku, joka indeksoi suoran pisteet.
Oikein: Parametri ei ole etäisyys. Pisteiden välinen etäisyys on , jos käytät yksikkösuuntaista .
Pisteen testaus yhdestä yhtälöstä
Ratkaistaan vain tai , jolloin väärä piste voi tulla "suoralle".
Oikein: Tarkista aina molemmat koordinaatit: sama pitää antaa sekä - että -arvon.
Usein kysyttyä
- Miten suoran vektorimuoto liittyy yhtälöön ?
- Sama suora: suuntavektori ja piste antavat , josta , .
- Voiko suuntavektori olla mikä tahansa suoran suuntainen vektori?
- Kyllä. ja , , antavat saman suoran; vain parametrisointi muuttuu.
- Miten etsin suoran ja -akselin leikkauspisteen?
- Aseta parametriyhtälössä ja ratkaise , sitten laske . Tai käytä suoran yhtälöä ja aseta .
- Mitä tarkoittaa, että suorat ovat yhdensuuntaiset?
- Suuntavektorit ovat yhdensuuntaiset: jollakin . Koordinaateissa kulmakertoimet ovat yhtä suuret.
Lähteet ja lisämateriaali
- LOPS21: MAA4 Analyyttinen geometria
Suoran yhtälöt ja vektorimuoto kuuluvat MAA4-kurssin tavoitteisiin.
- Yo-tehtävät: suorat
YTL:n materiaalipankki suorien ja geometrian tehtäviin.
- TIM: Suoran vektorimuoto
Harjoittele parametriyhtälöitä ja pisteen testausta.