Logaritmiyhtälöt – Logaritmifunktioiden yhtälöt
Logaritmiyhtälöt ovat yhtälöitä, joissa tuntematon esiintyy logaritmin argumentissa tai kantalukuna. Logaritmiyhtälöt ratkaistaan käyttämällä logaritmien laskusääntöjä ja eksponenttifunktiota. Tämä aihe kuuluu lukion pitkän matematiikan opetussuunnitelmaan (LOPS21) ja käsitellään erityisesti kursseissa MAA5: Funktiot ja yhtälöt 2 ja MAA8: Juuri- ja logaritmifunktiot.
Kaavat
(sama kantaluku, , )
Säännöt
Sama kantaluku
(kun , )
Logaritmien laskusääntö
,
Määrittelyehto
on määritelty vain, kun ja ,
Esimerkit
Esimerkki 1: Yksinkertainen logaritmiyhtälö
HelppoRatkaise yhtälö .
- Määrittelyehto: .Logaritmi on määritelty vain positiivisille luvuille.
- Käytetään eksponenttifunktiota: .Jos , niin .
Esimerkki 2: Logaritmiyhtälö sama kantaluku
KeskitasoRatkaise yhtälö .
- Määrittelyehto: eli ja eli , joten .Molempien logaritmien argumenttien on oltava positiivisia.
- Koska kantaluku on sama: , joten .Kun kantaluku on sama, argumentit ovat yhtä suuret.
- Tarkistetaan: , joten ratkaisu on kelvollinen.Tarkistetaan, että ratkaisu toteuttaa määrittelyehdon.
Esimerkki
Ratkaise yhtälö .
- Määrittelyehto: eli .
- Käytetään eksponenttifunktiota: , joten .
Sovellukset
- Kemiassa logaritmiyhtälöitä käytetään pH-arvon laskemisessa: .
- Fysiikassa logaritmiyhtälöitä käytetään desibeliasteikon laskemisessa: .
Yleisiä virheitä
Määrittelyehtojen unohtaminen
Monet unohtavat tarkistaa, että logaritmin argumentti on positiivinen.
Oikein: Aina tarkista määrittelyehto: on määritelty vain, kun .
Usein kysyttyä
- Mikä on logaritmiyhtälön määritelmä?
- Logaritmiyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon esiintyy logaritmin argumentissa. Yleisin muoto on tai .
Lähteet ja lisämateriaali
- LOPS21: MAA5 Funktiot ja yhtälöt 2
Lukion pitkän matematiikan kurssi (LOPS21), joka käsittelee logaritmiyhtälöitä.
- LOPS21: MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot
Lukion pitkän matematiikan kurssi (LOPS21), joka käsittelee logaritmiyhtälöitä.