Rationaaliyhtälöt – nimittäjien hallinta ja domain
Rationaaliyhtälöissä muuttuja esiintyy nimittäjässä, joten ratkaisun pitää kunnioittaa määrittelyehtoa
eq 0
Kaavat
(kun
eq 0
eq 0
ja
eq 0
eq 0
pienin yhteinen nimittäjä
Säännöt
Määrittelyehto ensin
Kirjoita
eq 0
eq 0
Yhteinen nimittäjä
Kerro koko yhtälö PYJ:llä, jotta nimittäjät poistuvat
Ristiin kertominen
Rightarrow kun
eq 0
eq 0
Ratkaisujen suodatus
Hylkää juuret, jotka rikkovat määrittelyehdon
Esimerkit
Helppo: yksittäinen nimittäjä
HelppoRatkaise .
- Kirjoita ehto:
eq 3Nimittäjä ei saa olla nolla. - Kerro yhtälö : .Poista nimittäjä kertomalla molemmat puolet.
- Ratkaise ja tarkista, ettei ehto rikkoudu.Koska
eq 3
Keskitaso: ristiin kertominen
KeskitasoRatkaise .
- Kirjoita ehdot:
eq 2x
eq -3Molempien nimittäjien nollakohdat suljetaan pois. - Ristiin kertominen: .Poista murtoluvut yhdellä laskulla.
- Laajenna: .Kerro sulut auki ja siirrä termit vasemmalle.
- Saat ja ratkaisukaavalla .Toisen asteen yhtälö antaa kaksi juurta.
- Tarkista: kumpikaan juuri ei nollaa nimittäjiä, joten molemmat hyväksytään.Ratkaisut kuuluvat määrittelyjoukkoon.
Vaikea: useita nimittäjiä ja hylätty juuri
VaikeaRatkaise .
- Tekijöihin jako: . Määrittelyehdot
eq 2x
eq -1Valmistellaan yhteinen nimittäjä. - Kerro koko yhtälö : .Murtoluvut poistuvat kokonaan.
- Ratkaise .Saat yhden potentiaalisen juuren.
- Hylkää , koska se rikkoo ehdon
eq 2Yhtälöllä ei ole hyväksyttyjä ratkaisuja.
Sovellukset
- Sähkötekniikassa rinnakkaisvastusten kaavat muodostavat rationaaliyhtälön, jonka ratkaisu antaa tuntemattoman komponentin arvon.
- Taloustieteen kustannus- ja tuottolaskelmissa yksikköhinta tuottaa rationaaliyhtälön, kun kokonaiskustannus ja tavoitekatteet tunnetaan.
- Yo-kokeen mallinnustehtävissä rationaaliyhtälö kuvaa usein nopeuden tai virtauksen riippuvuutta useasta tekijästä – tarkista määrittelyehto, ennen kuin hyväksyt ratkaisun.
Yleisiä virheitä
Määrittelyehdon unohtaminen
Ratkaisu hyväksytään vaikka se nollaa nimittäjän.
Oikein: Kirjoita ehdot heti alkuun ja tarkista ne lopuksi.
Ristiin kertomisen väärä järjestys
Osoittaja kerrotaan vahingossa samalla nimittäjällä.
Oikein: Käytä kaavaa ja kirjaa välivaihe paperille.
Nimittäjän merkki unohtuu
Kun nimittäjä laajennetaan, yksi termi jätetään kertomatta koko sululla.
Oikein: Kirjoita jokainen kertolasku näkyviin ennen sieventämistä.
Usein kysyttyä
- Miksi ratkaisut pitää tarkistaa erikseen?
- Koska kerroit yhtälön nimittäjällä, tarkistamaton ratkaisu voi muuttaa määrittelyjoukon ja tuoda vääriä juuria.
- Voiko rationaaliyhtälöä ratkaista graafisesti?
- Kyllä – kuvaajat ja leikkaavat kohdissa, jotka ovat ratkaisuja, kunhan pisteet kuuluvat määrittelyjoukkoon.
- Miten toimia, jos PyJ on korkea-asteinen polynomi?
- Pidä nimittäjä tekijöinä ja kerro jokainen termi erikseen. Näin vältyt virheiltä polynomien kertolaskussa.
- Voinko käyttää laskinta nimittäjien tarkistamiseen?
- Voit, mutta kirjaa analytiikka paperille: kirjoita ratkaisuista selvästi, mitkä hylätään ja miksi.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA2 Funktiot ja yhtälöt 1 – rationaaliset mallit
LOPS21:n mukainen tavoitekuvaus murtolukuyhtälöiden osaamisesta.
- Yo-tehtäväpankki: Rationaaliyhtälöt
YTL:n kooste tehtävistä, joissa nimittäjän nollakohtien hallinta korostuu.
- TIM: Rationaaliyhtälöiden harjoitussarja
Interaktiivinen sarja, joka tarkistaa sekä laskun että määrittelyehdot.