Derivoi funktio .
Funktio on . Laske derivaatan arvo .
Funktion kuvaajalle piirretään tangentti pisteeseen, jossa . Laske tangentin kulmakerroin.
Funktio on . Laske derivaatan arvo .
Funktio .
Derivoi .
Laske tangentin kulmakerroin kohdassa .
Muodosta tangentin yhtälö kohdassa .
Funktio .
Laske ja ratkaise sen nollakohdat.
Laadi merkkikaavio :lle ja määritä :n kasvuvälit ja vähenemisvälit.
Laske funktion paikalliset ääriarvot.
Suorakulmion piiri on . Merkitään toista sivua :llä.
Ilmaise toinen sivu muuttujan avulla.
Muodosta pinta-alan lauseke.
Määritä :n arvo, jolla pinta-ala on suurin, ja laske suurin pinta-ala.
Suorakulmion yksi sivu on -akselilla välillä ja vastakkainen sivu koskettaa paraabelia .
Ilmaise suorakulmion korkeus muuttujan avulla.
Muodosta pinta-alan lauseke ja määritä maksimi.
Funktio on . Ratkaise yhtälö .
Määritä funktion pienin arvo välillä .
Funktio .
Laske ja .
Ratkaise kriittiset pisteet ja luokittele ne toisen derivaatan testillä.
Sylinterimäinen tölkki tehdään ohuesta metallista. Sen tilavuuden on oltava . Merkitään pohjan sädettä :llä ja korkeutta :lla.
Ilmaise korkeus muuttujan avulla tilavuusehdon avulla.
Muodosta tölkin kokonaispinta-alan lauseke.
Derivoi ja ratkaise minimi. Anna ja desimaalin tarkkuudella.
Funktio .
Laske ja .
Määritä paikalliset ääriarvot.
Määritä inflektiokohta (piste, jossa ja konveksisuus vaihtuu).
Funktio , missä .
Osoita, että :llä on paikallinen minimi kohdassa ja laske minimiarvo :n avulla.
Määritä :n arvo, kun paikallinen minimiarvo on .
Neliömäisestä peltilevystä leikataan kulmista yhtä suuret neliöt (sivu ) ja taitetaan reunat ylös. Syntyy avoin neliöpohjainen laatikko.
Ilmaise tilavuus muuttujan avulla. Mikä on järkevä muuttujan arvojoukko?
Derivoi ja ratkaise, millä :n arvolla tilavuus on suurin.
Laske suurin tilavuus.
Opiskelija väittää: "Koska , funktiolla on paikallinen ääriarvo kohdassa ."
Onko opiskelijan väite oikein vai väärin? Perustele.
Anna esimerkki funktiosta, jolla mutta ei ole ääriarvo.
Henkilö on pisteessä , joka sijaitsee päässä rannasta. Rannan suuntaisesti suoraan :n alapuolella olevasta kohdasta on piste etäisyydellä . Henkilö soutaa veteen ja kävelee maalla . Hän soutaa suoraan rantapisteeseen ja kävelee sitten :hen. Missä :n tulee olla, jotta matka-aika on pienin?
Merkitään = :n etäisyys rannan kohdalta, joka on suoraan :n alapuolella. Ilmaise matka-aika muuttujan funktiona, kun .
Derivoi ja ratkaise minimi.
Laske pienin matka-aika.
Yritys myy tuotetta, jonka kysyntäfunktio on , missä on myytävä kappalemäärä (kpl) ja on yksikköhinta (€). Muuttuvat kustannukset ovat € ja kiinteät kustannukset €.
Muodosta tuottofunktio ja kustannusfunktio .
Muodosta voittofunktio ja ratkaise voiton maksimikohta derivoimalla.
Laske maksimaalinen voitto ja optimaalinen yksikköhinta.
Etsi paraabelin piste, joka on lähimpänä pistettä .
Merkitse paraabelin pistettä . Muodosta etäisyyden neliö ja perustele, miksi minimoidaan eikä .
Derivoi ja osoita, että on ainoa reaalinen kriittinen piste.
Laske pienin etäisyys.
Ikkuna koostuu suorakulmaisesta alaosasta (leveys , korkeus ) ja puoliympyrästä, jonka halkaisija on . Ikkunan kehys (piiri) on .
Muodosta piiriehto ja ilmaise muuttujan avulla.
Muodosta pinta-ala ja sievennä sijoittamalla .
Derivoi , ratkaise maksimikohta ja laske suurin pinta-ala. Anna tulos kahden desimaalin tarkkuudella.