Pitkä matematiikka YO-valmistautuminen • Origo

origo

Kokeet
- MAA
- MAB
- FY
- KE

Etusivu
Paketit
MAA

Ladataan…

Pitkä matematiikka

Ladataan…

1Integraali

Perus

Tehtävä1

Laske integraalit.

a) Laske . b) Laske . c) Laske .

Tehtävä2

Laske määrätyt integraalit.

a) Laske . b) Laske .

Tehtävä3

a) Laske . b) Laske . c) Laske .

a) Määritä paraabelin nollakohdat ratkaisemalla yhtälö . b) Laske pinta-ala integroinnilla välillä, jossa .

Tehtävä4

Laske integraalit.

a) Laske . b) Laske . c) Laske .

Tehtävä5

Laske integraalit.

a) Laske . b) Laske . c) Laske .

Tehtävä6

Laske integraalit.

a) Laske . b) Laske . c) Laske .

Tehtävä7

Laske .

Tehtävä8

Laske .

Tehtävä9

Laske .

Tehtävä10

Laske .

Tehtävä11

Laske .

Syventävä

Tehtävä12

Laske käyrien ja väliin jäävä pinta-ala.

a) Ratkaise käyrien leikkauspisteet. b) Laske pinta-ala integroimalla erotus leikkauspisteiden välillä.

Tehtävä13

Laske integraalit sijoitusmenetelmällä.

a) Laske . Käytä sijoitusta . b) Laske .

Tehtävä14

Laske määrätyt integraalit.

a) b) c)

Tehtävä15

Käyrä välillä pyöritetään -akselin ympäri.

a) Muodosta pyörähdyskappaleen tilavuuden kaava . b) Laske tilavuus.

Tehtävä16

Laske integraalit. Nimittäjä on ensimmäisen asteen lauseke.

a) Laske . b) Laske . c) Laske .

Tehtävä17

Laske .

Soveltava

Tehtävä18

Laske integraalit osittaisintegroinnilla.

a) Laske . Käytä kaavaa . b) Laske .

Tehtävä19

Laske käyrän ja -akselin välinen pinta-ala välillä .

a) Miksi, vaikka pinta-ala ei ole nolla? b) Laske todellinen pinta-ala ottamalla etumerkit huomioon.

Tehtävä20

Rationaalifunktion integrointi osamurtohajotelman avulla.

a) Osoita, että . b) Laske käyttämällä a-kohdan tulosta.